π是怎么诞生的？

布丰投针实验

在地板上画一系列间距为 2 厘米的平行线，然后把一根长度为 1 厘米的针扔在地板上。那么，这根针与地板上的线条相交的概率是多少呢？1733 年，法国博物学家布丰（Comte de Buffon）第一次提出了这个问题。1777 年，布丰自己解决了这个问题——这个概率值是 1/π 。

这个问题可以用微积分直接求解，也能利用期望值的性质得到一个异常精妙的解答。即使我们现在已经能轻易求出它的答案，结论依然相当令人吃惊——在这个概率问题上，竟然也有 π 的踪影。有人甚至利用投针法，求出过 π 的近似值来。

斯特林近似公式

我们把从 1 开始一直连乘到 n 的结果称作“n 的阶乘”，在数学中用 n! 来表示。也就是说：

1733 年，数学家亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）发现，当 n 很大的时候，有：

其中 c 是某个固定常数。不过棣莫弗本人并没有求出这个常数的准确值。几年后，数学家詹姆斯·斯特林（James Stirling）指出，这个常数 c 等于 2π 的平方根。也就是说：

这个公式就被称作斯特林近似公式。

伽马函数

阶乘运算本来是定义在正整数上的，但我们可以很自然地把它扩展到所有的正数上——只需要寻找一条经过所有形如 (n, n!) 的整格点的曲线就可以了。由此定义出来的函数就叫做伽马函数，用希腊字母 Г 来表示。好了，神奇的事情出现了。我们有这样一个结论：

π 再次出现在了与几何毫无关系的场合中！

平方数的倒数和的极限

1 的平方分之一，加上 2 的平方分之一，加上 3 的平方分之一，这样一直加下去，结果会怎样呢？这是一个非常吸引人的问题。

从上表中可以看到，越往后加，得数变化幅度就越小。可以预料，如果无穷地加下去，得数将会无限接近于某一个固定的数。这个数是多少呢？

1735 年，大数学家欧拉（Euler）非常漂亮地解决了这一问题。神奇的是，这个问题的答案里竟然包含有 π：

两个整数互质的概率

如果两个整数的最大公约数为 1，我们就说这两个数是互质的。例如，9 和 14 就是互质的，除了 1 以外它们没有其它的公共约数；9 和 15 就不互质，因为它们有公共的约数 3。可以证明这样一个令人吃惊的结论：任取两个整数，它们互质的概率是 6 / π ² ，恰好是上面一个问题的答案的倒数。在一个纯数论领域的问题中出现了圆周率，无疑给小小的希腊字母 π 更添加了几分神秘。

欧拉恒等式

这是整个数学领域中最伟大，最神奇的公式：

这个公式用加法、乘法、乘方这三个最基础的运算，把数学中最神奇的三个常数（圆周率 π、自然底数 e、虚数单位 i）以及最根本的两个数（0 和 1）联系在了一起，没有任何杂质，没有任何冗余，漂亮到了令人敬畏的地步。这个等式也是由大数学家欧拉发现的，它就是传说中的欧拉恒等式（Euler's identity）。《数学情报》杂志（The Mathematical Intelligencer）曾举办过一次读者投票活动，欧拉恒等式被评选为“史上最美的公式”。

然而，这些也都只是数学这个奇妙大世界的其中一角罢了。